{IV-29.} A legjelentősebb 20. századi magyar matematikusok munkássága

Farkas Gyula (1847–1930) a fizikában (mechanika, termodinamika, elektrodinamika, relativitáselmélet) és a matematikában (lineáris differenciálegyenletek, Bolyai algoritmusa, iterált függvények elmélete, lineáris egyenlőtlenségek elmélete) egyaránt jelentős tudományos eredményeket ért el. A vektoranalízis és vektoralgebra első önálló hazai művelője volt. Munkásságának jelentőségét csak az 1950-es években ismerték fel Kuhn és Tucker amerikai matematikusok. Legtöbbet 1902-ben megjelent cikkére (Theorie der einfachen Ungleichungen) hivatkoznak, amelyet Kuhn és Tucker felhasználtak a nem lineáris programozásról írt alapvető, 1950-ben publikált dolgozatukban. Ezt az eredményt Farkas Gyula a mechanikai egyensúlyelmélet Fourier-féle elvének pontos matematikai megalapozásához dolgozta ki 1894-ben. A Farkas-tétel azt mondja ki, hogy a egyenlőtlenség akkor és csak akkor következménye a egyenlőtlenségeknek, ha léteznek olyan nem negatív λ1,λ2,…,λm számok, hogy a g vektor előáll g=λ1g1+λ2g2+…+λmgm alakban. A Farkas-tétel bizonyítása egy önmagában is érdekes és igen fontos lemmán, az ún. Farkas-lemmán keresztül történik. A Farkas-tétel inhomogén változatát Haar Alfréd fedezte fel 1918-ban. Még abban az évben Farkas Gyula egy új bizonyítást adott az állításra. Farkas egy 1903-ban írt leveléből kitűnik, hogy a tételt már akkor ismerte, de nem publikálta. Ugyanezt a tételt később Neumann János is megtalálta. Megmutatható, hogy a lineáris programozás dualitástétele és az inhomogén Farkas-tétel ekvivalensek. A Farkas-lemma számos változatát és általánosítását fogalmazták meg és sok új bizonyítást is adtak rá. Megjegyzésre érdemes, hogy Hermann Minkowski, aki a lineáris egyenlőtlenségek elméletének másik (és ismertebb) kidolgozója volt, a Farkas-tételhez nagyon közel álló eredményt publikált 1896-ban. A Farkas-tételt Hermann Weyl is újra felfedezte 1935-ben.

Fejér Lipót

Fejér Lipót (1880–1959) a berlini egyetemen töltött tanév alatt Hermann Amadeus Schwarznak a körre vonatkozó Dirichlet-probléma Carl Neumann által javasolt megoldására vonatkozó megjegyzéséből döntő impulzust kapott kutatásaihoz. Ez tulajdonképpen olyan φ(x,y) függvény meghatározását kívánja, amely az x2+y2<1 nyílt egységkörben a egyenletet kielégíti és amely az egységkör bármely polárkoordinátájú pontjához sugár mentén közeledve előírt határértékkel rendelkezik, ahol a [0,2π] intervallumon folytonos 2π szerint periodikus függvény. Neumann a φ(x,y) függvényt alakban kereste, ahol

az függvény Fourier-együtthatói. Könnyen belátható, hogy a fenti függvény az egységkör belsejében kielégíti az egyenletet. A kör peremén azonban nem ilyen egyszerű a helyzet. Neumann arra a Cauchy-tól származó eredményre hivatkozott, hogy a mindenütt folytonos függvény Fourier-sora minden rögzített értékre konvergál -hoz. Abel igazolta, hogy ha az határérték létezik, akkor a határérték is létezik és a két határérték megegyezik. Ha a Cauchy-féle eremény igaz, akkor Abel előbbi hatványsortétele alapján a peremre vonatkozó feltétel is teljesül. Csak 1873-ban sikerült Du Bois Reymondnak és később Schwarznak ellenpéldákkal kimutatni, hogy vannak folytonos függvények, amelyek Fourier-sora az x=0 helyen divergens. Schwarz említett megjegyzése arra vonatkozott, hogy Neumann konstrukciója menthetetlen és a kérdést lezártnak kell tekinteni. Fejérnek az a gondolata támadt, hogy a Fourier-sor részletösszegei helyett a részletösszegek számtani közepeinek konvergenciáját vizsgálja. Kimutatta, hogy a Fourier-sor részletösszegeinek számtani közepei minden olyan pontban a kifejtett függvény felé tartanak, ahol ez folytonos. Ez az eredménye nemcsak megmentette a Neumann-féle megoldási kísérletet, de fordulópontot jelentett a Fourier-sorok elméletének fejlődésében. Fejér dolgozata (Sur les foncions bornées et intégrables) még az 1900-as év folyamán megjelent a Comptes Rendus francia folyóiratban. 1911-től a budapesti tudományegyetemen tanított, hamarosan kialakult körülötte a világhírű Fejér-iskola (Csillag Pál, Egerváry Jenő, Erdős Pál, Fekete Mihály, Kalmár László, Lukács Ferenc, Pólya György, Riesz Marcel, Szász Ottó, Szegő Gábor, Szidon Simon, Turán Pál és sokan mások). A Fourier-sorok analízisén kívül jelentős eredményeket ért el a konstruktív függvénytanban (Fejér-interpoláció és mechanikus kvadratúra) és a komplex függvénytanban.

Riesz Frigyes

Riesz Frigyes (1880–1956) a 20. század egyik legjelentősebb és legnagyobb hatású matematikusa volt. 1907-ben publikálta első híres eredményét, a nem sokkal később Ernst Fischer által is felfedezett és azóta Riesz–Fischer-tételnek nevezett általánosan ismert tételt. 1913-ban Párizsban jelent meg addigi felfedezéseit összegző első könyve (Les systèmes d’équations linéaires à une infinité d’inconnues) a végtelen sok ismeretlenes egyenletrendszerekről. Riesz rendkívüli mértékben rendelkezett a lényeges meglátására, a látszólag távoleső fogalmak közti analógiák megragadására szolgáló képességgel. A Riesz–Fischer-tétel felfedezése után észrevette, hogy az lehetővé teszi kölcsönösen egyértelmű és a távolságot is megtartó megfeleltetés létesítését a végtelen sok koordinátával rendelkező vektorok összessége és a Lebesgue-féle értelemben négyzetesen integrálható függvények összessége között. Ilyen módon az említett függvények halmazát geometriai tulajdonságokkal lehet felruházni, belőlük az L2-vel jelölt függvényteret lehet megalkotni. Ennek mintájára a p-edik hatványukkal együtt integrálható függvényekből is egy bonyolultabb szerkezetű L2-vel jelölt függvényteret alkotott, amelynek alapvető, részben az L2 térre emlékeztető tulajdonságait is ő fedezte fel. Mindezen függvényterekben megállapította a lineáris funkcionálok [lineáris funkcionál, ha a függvénytér minden f eleméhez egy L(f) valós számot rendel hozzá, úgy, hogy L(c1f1+c2f2)=c1L(f1)+c2L(f2)] legáltalánosabb alakját. Hasonló eredményeket kapott a folytonos függvények által alkotott C függvénytér esetében is. {IV-31.} Eredményeivel döntő mértékben járult hozzá az ún. momentum probléma megoldásához. A talált módszereket rendkívül hatékonyan alkalmazta integrálegyenletek bizonyos, a matematikai fizikában igen hasznos típusainak szemléletes tárgyalására is. Lengyel matematikusok Riesz eredményeire támaszkodva alkották meg a lineáris operátorok általános elméletét, amelyben az alapvető szerepet játszó Banach-terekre éppen a Riesz által vizsgált terek adták az első klasszikus példákat. Bevezette és megalapozta a szubharmonikus függvények elméletét, amely a potenciálelmélet fejlődésének is új lendületet adott. Jelentős mértékben továbbfejlesztette és egyszerűsítette a Lebesgue-féle integrál tárgyalását. Ugyancsak jelentős egyszerűsítéseket hajtott végre a Hilbert-tér lineáris operátorainak elméletében is. A korlátos önadjungált operátorok spektrálelőállításának Hilbert-féle nehézkes bizonyítását már 1913-ban megjelent könyvében jelentősen egyszerűbbel és elegánsabbal pótolta. Ugyanígy tett a nem-korlátos operátorok spektrálelőállítására vonatkozó Neumann János-féle tétellel is. Jelentős az ergodelmélethez való hozzájárulása is. 1908-ban Maurice Fréchet nyomán a topologikus tér axiómáinak megfogalmazását végezte el a torlódási pontok tulajdonságainak segítségével. Ezzel a topologikus tér fogalmának első sikeres felfedezője is. Fejér Lipóttal rendkívül elegáns bizonyítást talált a konformis leképezések alaptételére, amely ma a tétel általánosan használt bizonyítása. Munkásságának nagy részét a Szőkefalvi-Nagy Bélával írt Lecons d’Analyse Fonctionelle (1952) c. könyvében foglalta össze. Ez a könyv, amelyet orosz, német, angol, kínai és magyar nyelvre is lefordították és igen sokszor utánnyomtak, azóta is a funcionálanalízis alapvető művének számít. Riesz Frigyes Maurice Fréchet francia és Stefan Banach lengyel matematikussal a számos fontos fizikai és egyéb alkalmazással bíró funkcionálanalízis tudományágának megalapítója.

Haar Alfréd (1885–1933) az analízis világhírű kutatója volt, az ortogonális függvényrendszerek (e témakörből doktorált Hilbertnél Göttingenben a Zur Theorie der orthogonalen Funktionensysteme c. értekezéssel 1909-ben), a parciális differenciálegyenletek, a Csebisev-approximáció, a lineáris egyenlőtlenségek és a variációszámítás témakörökben kutatott. Máig ható jelentős eredményeket ért el az ortogonális sorok (Haar-rendszer), a variációszámítás és csoportok analízise területén. 1932-ben vezette be leghíresebb eredményét, a róla elnevezett Haar-mértéket, amely megengedi a Lebesgue-integrál analógonjának definiálását lokálisan kompakt topologikus csoportokon. Ezt az eredményt használta fel Neumann, Pontrjagin és Weil a kommutatív harmonikus analízis absztrakt elméletének megalapozásánál. Szegeden Haar Riesz Frigyessel megalapította a matematikai szemináriumot (ma Bolyai Intézet) és 1922-ben az Acta Scientarium Mathematicarum c. folyóiratot. Vezetésükkel Szeged hamarosan nemzetközileg elismert matematikai centrummá vált.

Riesz Marcell (1886–1969) Riesz Frigyes öccse. Jelentős eredményeket ért el a trigonometrikus sorok, a hatványsorok, a Dirichlet-sorok elméletében, ahol 1909-ben bevezette a később róla elnevezett Riesz-féle közepeket, amelyet részletesebben tárgyal a Godfrey Hardy-val közösen írt The General Theory of Dirichlet’s Series (1915) c. könyv. A Riesz-közepek szerepet játszanak többek között az absztrakt approximációelméletben és a parciális differenciálegyenletek elméletében is. Több dolgozatában approximációelméleti kérdésekkel (Bernstein-féle egyenlőtlenségekkel), parciális differenciálegyenletekkel és fizikai problémákkal is foglalkozott. Bátyjával 1916-ban írt egyetlen, de nagyhatású közös dolgozata az analitikus függvények peremen való viselkedését tanulmányozza. A dolgozat főeredményét az 1960-as évek táján {IV-32.} nagymértékben általánosították és az úgynevezett absztrakt Riesz Frigyes–Riesz Marcell-tétel Szegő Gábor egy tételének bizonyításával együtt a függvényalgebrák elméletének egyik alaptétele lett. Ugyancsak ez a dolgozat, valamint Riesz Frigyes és Szegő Gábor dolgozatai együtt alapozták meg a Hardy-féle függvényosztályok elméletét.

Pólya György

Pólya György (1888–1985) számos területen, a valós és komplex analízisben, a kombinatorikában, a számelméletben, a geometriában és a valószínűségszámításban ért el jelentős eredményeket. Szegő Gáborral közös Aufgaben und Lehrsatze aus Analysis (1925, magyarul Feladatok és tételek az analízis köréből, 1980) c. kétkötetes könyve a 20. századi matematika klasszikus könyve, matematikusok nemzedékeit vezette be a klasszikus analízis kutatási problémáiba és módszereibe. Valószínűségszámításban a véletlen bolyongásokról fogalmazott meg egy híres tételt. Legyen Gr az r-dimenziós euklideszi tér rácspontjainak halmaza. Tekintsünk egy pontot, amely a Gr rácson bolyong. Ez alatt azt értjük, hogy ha a t=n időpontban a vándorló pont valamely rácspontban található, akkor a t=n+1 időpontban 1/2r valószínűséggel valamelyik szomszédos rácspontban lesz, amelynek r-1 koordinátája megegyezik, egyik koordinátája pedig ±1-gyel eltér annak a pontnak a megfelelő koordinátájáról, amelyben a pont a t=n időpontban volt. Pólya igazolta, hogy annak a valószínűsége, hogy a Gr rácson bolyongó pont a kezdeti helyzetébe végtelen sokszor visszatérjen, r=1 és r=2 esetén eggyel egyenlő, r≥3 esetén pedig nullával. 1937-ben publikálta kombinatorikából híres leszámlálási tételét, amelynek kémiai alkalmazásai is jelentősek. Parciális differenciálegyenletek peremérték problémáival is foglalkozott. Jelentős eredményeket ért el a matematika tanítása területén. A gondolkodás iskolája (1946, magyarul 1957) c. könyvét több mint egymillió példányban adták el. Ugyancsak méltán híres A problémamegoldás iskolája, 1–2. (magyarul 1967–1968) c. munkája.

Lánczos Kornél (1893–1974) elsősorban fizikával, főként relativitáselmélettel foglalkozott. Az alkalmazott matematikában fő kutatási területe a variációszámítás, a Fourier-sorok, a differenciál- és integrálegyenletek megoldási módszerei és a lineáris algebra voltak. A Fourier-együtthatók kiszámítására 1942-ben adott algoritmusa képezi a gyors-Fourier-transzformáció alapját. Leghíresebb matematikai eredményei a róla elnevezett Lánczos-algoritmushoz kapcsolódnak. Ez az eljárás, amely egy négyzetes mátrix tridiagonális alakra való hasonlósági transzformációját valósítja meg, fontos szerepet játszik lineáris egyenletrendszerek (konjugált gradiens módszerek), illetve nagyméretű, szimmetrikus és ritka mátrixok sajátérték-problémáinak számítógépes megoldásában. A Lánczos-módszer, illetve -módszerek ma is intenzív kutatás tárgyai, nincs olyan mértékadó numerikus lineáris algebra tankönyv vagy monográfia, amelyben ne szerepelnének. Alkalmazott matematikai tárgyú híres könyve a több kiadást megélt Applied Analysis (1956), amelyet még ma is használnak.

Wald Ábrahám (1902–1950) jelentős eredményeket ért el a statisztika területén a szekvenciális analízisben és a döntésfüggvények elméletében, amelyeket tulajdonképpen ő hozott létre. A szekvenciális analízist a II. világháború alatt fejlesztette ki, hogy az ipari minőségellenőrzés hatékonyságát javítsa. Ezirányú eredményeit a Sequential Analysis (1947) c. könyvében foglalta össze. Másik híres könyve a Statistical decision functions (1950).

Neumann János (1903–1957) az általa kidolgozott axiomatikus halmazelméletből doktorált, amely akkor a terület legjelentősebb eredménye volt. Ezt később a {IV-33.} természetesebb, de Neumann munkájára építő Bernays- és Gödel-féle axiómarendszer váltotta fel. A Mathematische Grundlangen der Quantummechanik (1932) c. munkája az akkor új kvantummechanika szilárd matematikai megalapozását adta meg. 1929-ben bevezette az operátorgyűrűket (von Neumann-algebrák), amelyek elméletét Francis Joseph Murray-el közösen fektette le. 1932-ben a klasszikus mechanikai statisztika egy alapvető hipotézisét, az ún. kváziergodikus hipotézist igazolta. Haar Alfréd munkája inspirálta Hilbert ötödik problémájának egy részmegoldásában. A játékelméletben felfedezte a később róla elnevezett minimax tételt. Ezt és későbbi játékelméleti kutatásait az Oskar Morgensternnel írt Theory of Games and Economic Behaviour (1944) c. klasszikus munkában fejtette ki. Elsőként alkalmazta a játékelméletet stratégiai kérdések vizsgálatára. Az 1930-as évek közepétől alkalmazott matematikai problémákkal kezdett el foglalkozni, nevezetesen hidrodinamikai egyenletekkel, lökéshullámokkal és meteorológiai kérdésekkel. 1943-ban a Manhattan-terv konzultánsa lett, a robbanással összefüggő kérdéseket (lökéshullámokat) vizsgált. Ehhez szüksége volt numerikus módszerekre és mechanikus számításokra. A korábban ismert mechanikus és elektromechanikus számítási eszközök azonban már nem voltak elégségesek a feladatok megoldására. A ballisztikai számításokhoz készülő ENIAC számítógépet építő csoport konzultánsa lett. Javaslatára az atombombával kapcsolatos számításokat az ENIAC-on végezték, igazolva a gép képességeit. Neumann a számítógép felépítésével kapcsolatos legfontosabb elveket a híres First Draft nevű jelentésben foglalta össze. Elsőként javasolta a tárolt programvezérlés elvét (az ENIAC nem ilyen volt). A jelentésben lefektetett elvek alapján készült el az EDVAC, majd a princetoni egyetem IAS számítógépe, amely az első mai értelemben vett számítógép. A párhuzamos számítógépektől eltekintve a mai számítógépek lényegében Neumann-elvűek (így is nevezik őket). Jelentősen hozzájárult a logikai tervezés fejlődéséhez, az automataelmélet és a számítógépek megbízhatóságelméletének (megbízható válasz megbízhatatlan számítógép alkatrészekkel) kialakulásához is. Neumannt sokan a modern numerikus analízis elindítójának is tartják, ő fektette le a számítógépes hibaanalízis alapjait, az inverz hibaanalízis módszerét, a Gauss-elimináció használatát és kapcsolatát a trianguláris felbontással. Élete végéig a számítástechnika egyik legfontosabb fejlesztője és népszerűsítője volt.

Turán Pál (1910–1976) jelentős eredményeket ért el a matematika több területén. Az approximációelméletben az interpolációs eljárások konvergenciájával, a hézagos interpolációval, stabil interpolációval, a Gauss-féle kvadratúra általánosításával és a racionális approximációval kapcsolatban ért el számottevő eredményeket. Erdős Pállal megalkották az interpoláció ún. finom és durva elméletét. Ugyancsak Erdős Pállal alapozták meg a statisztikus csoportelméletet. Híres gráfelméleti tétele az extremális gráfok kutatását indította el. Figyelemre méltó eredményeket ért el a Fourier-sorok és a hatványsorok elméletében, valamint a polinomok és racionális függvények tulajdonságainak vizsgálatában is. Egy idevágó híres eredménye a Legendre-féle polinomokra vonatkozó egyenlőtlenség, ahol Pn(x) az n-edik Legendre-féle polinomot jelöli. Leghíresebb és legfontosabb eredményeit a számelméletben érte el. Nagyszámú idevágó eredménye közül is döntő fontosságúak a Riemann-féle ζ-függvény gyökeinek eloszlására vonatkozó sűrűségi tételek és az ezek igazolására {IV-34.} kifejlesztett Turán-féle hatványösszeg-módszer. A hatványösszeg-módszer a komplex számokra vonatkozó két önmagában is érdekes egyenlőtlenségen és ezek nemtriviális alkalmazásain alapul. Első főtétele a következőképpen szól: ha n≥2 és m≥0 tetszőleges egész számok, b1,b2,…,bn tetszőleges komplex számok és z1,z2,…,zn olyan komplex számok, amelyekre akkor

A második főtétel azt mondja ki, hogy ha n≥2 és m≥1 tetszőleges egész számok, b1,b2,…,bn tetszőleges komplex számok és z1,z2,…,zn olyan komplex számok, amelyekre akkor

A számelméleten kívül a hatványösszeg-módszernek jelentős alkalmazásai vannak sorelméletben, a differenciálegyenletek elméletében, polinomok és sajátérték-problémák vizsgálatában is. A hatványösszeg módszerről írt első könyve Az analízis egy új módszeréről 1953-ban jelent meg magyar és német nyelven, később kínai nyelvre is lefordították.

Hajós György (1912–1972) doktori értekezésében Minkowski egy híres diofantikus approximációelméleti sejtésével foglalkozott. Minkowski igazolta, hogy ha a valós együtthatójú diofantoszi egyenlőtlenségrendszer mátrixának determinánsa 1, akkor az egyenlőtlenségrendszernek van nemtriviális, azaz nemcsupa zérus x1,…,xn egész számokból álló megoldása. A tétel akkor is igaz marad, ha a szereplő ≤ jeleket egy kivételével < jellel helyettesítjük. Csupa < jel általában nem vehető, amint az alábbi példa is mutatja:

Ez a megállapítás akkor is igaz marad, ha itt az xi-k helyébe 1 determinánsú egész együtthatós homogén lineáris helyettesítéssel új változókat hozunk be. Minkowski híres sejtése az volt, hogy tétele minden más esetben csupa < jellel is igaz. Ezt azonban csak az n=2,3 esetre tudta bizonyítani. Minkowski sejtésének egy rácsgeometriai átfogalmazását is megadta. Eszerint az n-dimenziós euklideszi térben minden egyszeresen térfedő kockarács oszlopozott (azaz tartalmaz egész lapokkal illeszkedő kockapárt). A sejtés igazolásával próbálkozó sok matematikus (Mordell, Perron, Siegel és mások) között a legsikeresebb Perron volt, aki az n≤9 esetre igazolta a sejtést. Hajós első jelentős sikere a sejtés megoldásában az volt, hogy a sejtés geometriai formájából kiindulva annak véges jellegű, tisztán algebrai ekvivalens átfogalmazását nyerte. Eszerint egy véges Abel-csoport szimplexekre faktorizált alakjában legalább egy tényező részcsoport. Hajós ezt az átfogalmazást 1938-ban a Matematikai és Fizikai Lapokban megjelent doktori disszertációjában közölte, ahol hasonló átfogalmazás útján bebizonyította, hogy Minkowski sejtésének geometriai alakja az úgynevezett többszörösen térfedő kockarácsokra n≥4 esetén általában nem igaz. A fenti csoportelméleti állítást és így a Minkowski-féle sejtést végül 1941-ben sikerült igazolnia. Ezzel Hajós nemcsak egy híres és megoldatlan sejtést oldott meg, hanem algebrai eredményével megindította a véges Abel-csoportok klasszikus elméletének modern elméletté való kiépítését. Ezt az elméletet, amelyhez sok kiváló kutató járult hozzá, a véges Abel-csoportok Hajós–Rédei-féle faktorizációs elméletének is szokás nevezni. A Hajós–Minkowski-tétel problémakörén kívül {IV-35.} gráfelmélettel és alkalmazott matematikával is foglalkozott. Nemzedékek tanultak a Bevezetés a geometriába (1960) c. tankönyvéből. Sokan forgatták a Matematikai versenytételek, 1–2. (2. kiadás 1955) c. könyvét is, amelyet Neukomm Gyulával és Surányi Jánossal készített. Ez az Eötvös-verseny (ma Kürschák-verseny) feladatait és megoldásait tartalmazó könyv Kürschák József: Matematikai versenytételek (1929) c. munkájának átdolgozott és kiegészített kiadása.

Erdős Pál (1913–1996) az egyetemen számelmélettel kezdett el foglalkozni és már elsőéves korában egy különösen elegáns bizonyítást adott Csebisev azon híres tételére, miszerint minden x természetes szám esetén x és 2x között van prímszám. Egyetemi doktori értekezését másodéves korában írta. Ebben Csebisev előbbi tételét terjesztette ki számtani sorozatokra. 1938-1939-ben a princetoni Institute for Avanced Study ösztöndíjasaként kiemelkedő dolgozatokat írt Mark Kaccal és Wintner Auréllal, egy alapvető approximációelméleti dolgozatot Turán Pállal és megoldotta Hurewicz egy fontos dimenzióelméleti problémáját. 1949-ben Selberg egy elemi bizonyítást talált a prímszámok eloszlására vonatkozó saját aszimptotikus formulájára, majd Erdős egy lényeges hozzájárulása után befejezte és publikálta a prímszámtétel (az x-nél nem nagyobb prímszámok száma aszimptotikusan x/log(x), ha ) első elemi bizonyítását. Később mindketten találtak egyszerűbb elemi bizonyításokat is. A század egyik legjelentősebb, legtermékenyebb matematikusa volt. Tanítványai és méltatói Erdős tevékenységének három elemét emelik ki: az elemi módszerek használatát, a valószínűségszámítási módszerek bevezetését a matematika különböző ágaiba és a matematikai problémák százait. Turán Pál Erdős ötvenedik születésnapjára írt méltatásában nagyjából nyolc fontos területre osztotta Erdős Pál addig megjelent munkáit: a számelmélet, a valószínűségszámítás és ergodelmélet, a gráfelmélet és aszimptotikus kombinatorika, a konstruktív függvénytan, a halmazelmélet és halmazelméleti topológia, a sorelmélet, a komplex függvénytan és a geometria. Rényi Alfréddel közösen alapozta meg a véletlen gráfok elméletét. Az 1950-es évek vége felé kezdte a kombinatorikus halmazelméleti kutatásainak zömét. A Hajnal Andrással közös dolgozatok közül a leghíresebb a partíciókalkulusról szóló 1965-ben írt Erdős–Hajnal–Rado dolgozat (Partition relations for cardinal mumbers). Ugyancsak az 1960-as években kezdett el dolgozni Sárközi Andrással és Szemerédi Endrével sorozatok oszthatósági tulajdonságain. Erdős és Turán fektették le a statisztikus csoportelmélet alapjait. A Surányi Jánossal írt népszerű Válogatott fejezetek a számelméletből (1960) c. könyvében számelméleti eredményeinek egy része is megtalálható.

Szőkefalvi-Nagy Béla (1913–1998) sok eredménnyel gazdagította a matematika különböző területeit, így az approximációelméletet, az ortogonális függvények elméletét, a Fourier-analízist, a geometriát és különösen a Hilbert- és Banach-térbeli operátorok elméletét. Kiemelkedőek perturbációelméleti és a Hilbert-terek nem önadjungált operátorainak elméletével kapcsolatos vizsgálatai. Első, saját eredményeit is tartalmazó könyve a Spektraldarstellung linearer Transformationen des Hilbertschen Raumes (1942) alapvető szerepet játszott a Hilbert-térbeli lineáris operátorok elméletének fejlődésében. Riesz Frigyessel közösen írt Lecons d’Analyse Fonctionelle” (1952) c. könyve több mint tíz kiadást ért meg öt nyelven. A Hilbert-térbeli operátorokkal kapcsolatos fő eredményeit tartalmazza az Analyse harmonique des operateurs de l’espace de Hilbert (társszerző C. Foias, 1967) c. műve, amelyet átdolgozott és bővített formában angolul és orosz nyelven is kiadták. Egyetemi előadásai alapján írta meg a klasszikusnak számító Valós függvények és függvénysorok (1954) c. {IV-36.} tankönyvét, amelyet szintén lefordítottak angolra.

Rényi Alfréd

Rényi Alfréd (1921–1970) 1946–1947 között Leningrádban Juríj Vlagyimirovics Linnik aspiránsaként igazolta máig is leghíresebb eredményét, az ún. kvázi Goldbach-sejtést. Eszerint minden elég nagy n páros szám előállítható n=μ1,+μj alakban, ahol μ1 prímszám, μj legfeljebb j prímszám szorzata, ≤j≤k és k numerikus állandó. Leningrádi tartózkodása alatt beletanult a valószínűségszámításba is, amely később fő érdeklődési területévé vált. Szervező, tanító és kutatómunkájának köszönhetően a Matematikai Kutató Intézet nemzetközileg elismert kutatócentrummá vált, és létrejött a később róla elnevezett Rényi-féle valószínűségszámítási iskola, amely az első volt Magyarországon. Rendkívül széles spektrumban végzett kutatásokat. A valószínűségszámítás, a matematikai statisztika, az információelmélet, a kombinatorika, a gráfelmélet, a számelmélet, az analízis (sorok, komplex függvénytan), geometria, a numerikus analízis és alkalmazásai területén kutatott. Igen sok helyen alkalmazta a valószínűségszámítási módszereket. A számelméletben használt Linnik-féle nagy szita módszerről kimutatta, hogy az valószínűségszámítási jellegű és meg is fogalmazta annak valószínűségszámítási formáját. Jelentős eredményeket ért el a határeloszlási tételek, a keverési tételek, a valós számok jegyeinek eloszlása, a sztochasztikus folyamatok és rendstatisztikák elmélete és az információelmélet területén is. Erdős Pállal közösen megalapozták a véletlen gráfok kutatását. Munkásságának külön fejezetét jelentik a matematikát népszerűsítő esszéi, a több nyelven is kiadott Dialógusok a matematikáról (1965), a Levelek a valószínűségről (1967) és a befejezetlenül maradt Napló az információelméletről (1976).