Mathematika

ta maJhuatica vagy ta maJhata alatt a görögök kezdetben mindazt értették, a mi a tudományos ismeretek keretében helyet kapott. Csak Pythagoras óta vette fel a szó azt az értelmet, melyet napjainkig megtartott s kezdtek különbséget tenni tiszta és alkalmazott mennyiségtan között; amaz a gondolatban felfoghatók (ta nohta), emez az érzékeinkkel észrevehetők (ta aisJhta) méreteivel és számviszonyaival foglalkozik. A tiszta mennyiségtant ők ismét arithmetikára és geometriára osztották fel, az alkalmazottat mechanikára, astrologiára v. astronomiára, optikára, canonikára (= acustika), geodaesiára és logistikára, melyhez a későbbi időkben a tactikát is számították. Első gyökerei a görögök mennyiségtanának Aegyptusból való kiáradása a földek ismételt fölmérést tette szükségessé; az aegyptusiak mennyiségtani ismereteiről tanúskodik a Kr. e. 1700 körül szerkesztett ú. n. Ahmes papyrus (v. Papyrus Rhind), mely a közönséges törtszámokkal, elsőfokú egyenletekkel egy ismeretlennel, a síkmértan és térmértan elemi kérdéseivel foglalkozik. Az ion philosophusok azután, nevezetesen Thales, megismertették a görögöket az aegyptusiak mennyiségtanával s a további kutatásra lökést adtak; a pythagorasi iskola már valósággal fejlesztette. Pythagoras u. i. nemcsak hogy a mennyiségtant valamennyi emberi tudomány fundamentumának állította, hanem a számviszonyokat bölcsészeti rendszere alapgondolatává tette; természetes, hogy mester és tanítványok így nem egy számtani és mértani problema megoldásáig jutottak. Ők megkülönböztették már a páros és páratlan számokat, mértani alakba öltöztették a mennyiségeket, szétbontották a szabályos ötszöget, feltalálói az ú. n. arany metszésnek s annak a tételnek, hogy «a derékszögű háromszög átfogójának négyzete egyenlő befogói négyzetének összegével»; nemkülönben a pythagorasi iskola hozta be a mennyiségtanba az irrationalisnak a fogalmát (to alogon) s megismerte, hogy vannak összemérhetetlen mennyiségek (ta asummetra), vagyis egyenesek, melyeknek egymáshoz való viszonya számokkal ki nem fejezhető. A Pythagorastól Platóig terjedő kor munkálkodása különösen három feladat megoldása körül forgott: hogyan kell és lehet a szöget részekre osztani, a koczka térfogatát megkettőzni, a kört négyszögesíteni. Utóbbi problemával az elisi Hippias, de kivált a 450–430 közt virágját élő chiusi Hippocrates foglalkozott (ki először írt egy elemi mennyiségtant stoiceia czímmel), ki az ú. n. lunula Hippocratis szerkesztésével hitte megközelíthetni a négyszögesítést; utána Dinostratus az ú. n. quadratrix (egy transcendentalis görbe) kiszámításával jutott a kör területe megméréséhez. E korban élt az athenaei sophista Antipho is, ki a végtelennek (to apeiron) fogalmát vitte be a geometriába. A mennyiségtant logikai alapokra fektető Plato meghonosította academiájában a geometria bölcseletét s az analytikai eljárást rendszeressé fejlesztette, foglalkozott a koczka kettőzésének feladatával is, mely az ő idejétől fogva delosi problema néven szerepel a mennyiségtan történetében. Foglalkozott academiája egyébként az egyenes és a sík térfekvésénél szükséges tételekkel, a szabályos testekkel, a gömbbel; a hasábnak és hengernek, a gúlának és kúpnak azonban csak fogalmai voltak ismeretesek előtte. Tanítványai közül kiválnak a tarentumi Archytas, ki a Pythagoras ismerete három arányhoz [a-b = b-g, a számtani középarányosra; a: b = b: g, a mértani középarányosra; a: g = (a-b): (b-g), a «harmonikus», középarányosra] három újat csatolt, t. i. a: g = (b-g): (a-b); b: g = (b-g): (a-b); a: b = (b-g): (a-b); Menaechmus, ki a kúpmetszeteket találta fel s ezzel azt a három görbét, melynek később Apollonius Pergaeus az ellipsis, parabola és hyperbola neveket adta; a cnidusi Eudoxus, kitől való az a tétel, hogy a gula a vele egyenlő magasságú s alapú hasábnak, a kúp az ily tulajdonságú hengernek a harmadrésze, s kinek vizsgálataira megy vissza Euclides Elemeinek 5. könyve. Hozzájárult a mennyiségtan fejlesztéséhez Platónak legnagyobb tanítványa Aristoteles is, ki a végtelen nagynak és végtelen kicsinynek fogalmait úgyszólván helyesen állapította meg. Plato bölcseleti iskolájához tartozónak vallotta magát végre Euclides is. Ennek 13 könyvből álló stoiceia cz. műve az első reánk maradt részletes geometriai tankönyv, melyben az ismert tételek szigorú bebizonyítására és rendszeres összefoglalására törekszik. Értekezik benne a síkban ábrázolt alakokról és nagyságuk kölcsönös viszonyairól, kibővíti a Pythagoras tételét, foglalkozik a körök tulajdonságaival s egymáshoz való viszonyaival, a körbe és köréje írt főleg szabályos sokszögekkel, az arányok tanával, alakok hasonlóságával, a számok tanával s az összemérhetetlenekkel. De míg Euclides inkább összefoglaló és rendszerező eleme, a közvetetlenül utána virágzott Archimedes feltaláló szellem. Nevéhez fűződik t. i. a hydrostatikai törvény (hogy a folyadékba mártott test annyit veszít súlyából, a mennyi a kiszorított folyadéknak a súlya), egy vízemelő gép, azaz csavar, melyet egy a csavarral együtt forgó henger vesz körül, s az ú. n. Archimedes-féle csigasor. Ő bizonyította be, hogy a gömb felülete egyenlő legnagyobb körének négyszer vett területével, hogy a gömbsüveg területe oly nagy, mint az a kör, melynek félátmérője egyenlő a gömbsüveg csúcsától az alapkör kerületéig vont egyenessel, s hogy az a henger, melynek alapja a gömb egyik legnagyobb köre s magassága a gömb átmérője, másfélszer oly nagy, mint a gömb. Előremozdította a számtant is, nevezetesen az ú. n. társaságszámoláshoz s az egyenleteknek és körméréseiben előforduló négyzetgyökök meghatározásához értékes feladatokat szolgáltatott; ugyancsak ő tanította először a tízes számrendszert, s az infinitestimalis számításnak megvetette alapjait. Mellette a cyrenei Eratosthenes és a pergai Apollonius vergődtek az alexandriai korszakban nagy hírre. Nevezetesen az utóbbi cwnica stoiceia cz. 8 könyvéből álló mnkájában hathatósan vitte előre a geometria tudományát: a maximalis és minimalis értékeket az ő tételei vetik fel először. Utánuk némi hanyatlás állott be, de azért a Kr. e. 2-ik század sem szükölködik nevesebb mathematikusok nélkül. Elég felemlíteni Nicomedest, a conchoisnak (kagylóvonalnak) feltalálóját, Dioclest a cissoisét (repkényvonalét), Perseust, a speioicai (kigyózó vonalak) feltalálóját, s az alexandriai Hypsiclest, kitől a körkerületnek 360 egyenlő részre való osztása származik s a sokszögi számoknak a meghatározása. Ebben a korszakban tünik fel Heron is Alexandriából, a geodaesia, optika és mechanika jeles művelője. Övé az a mechanikai tétel, hogy háromszorta nagyobb erő elérésénél a húr háromszor nagyobb feszültséget szenved, s ő első megoldója a vegyes másodfokú egyenleteknek. A Kr. e. első évszázból említendő a rhodusi Geminus, kinek a henger csavarvonala felől írt értekezése jutott reánk, a Kr. u. 1. évszáz vége tájáról az alexandriai Menelaus, kitől való az a tétel, hogy a háromszög megfelelő metszeteinek szorzata állandó viszonyt ad, s a kevéssel utána élt Claudius Ptolemaeus, kitől a síkháromszögtan bármely két oldala úgy viszonylik, mint a kettős ívek húrjai, melyeket az oldalaknak megfelelő szögek mérnek) s az ú. n. ptolemaeusi tétel (a húrnégyszög átlóinak szorzata egyenlő két-két szembenfekvő oldal szorzatainak összegével; utóbbi osztotta fel a középterület 360 egyenlő részét 60 perczre, mindegyik perczet ismét 60 másodperczre. A Kr. u. első évszáz táján kezdi működését az új pythagorasi iskola is, melynek jeles tagjai a gerasai Nicomachus s a nálánál valamivel későbben élt smyrnai Theon. Kivált az előbbinek nevezetes 2 könyvben írt eissgwgh ariJmhtich-je, a görög számtannak alapvetése, mely a számtani tételeket nem mértani alakjukban, hanem önmagukért tárgyalja; benne meghatározza a négyzetszámokat (tetragwnoi ariJmoi) mint az egymásra következő páratlan számok összegét s megismertet az addig felállított 6 arányon kívül 4 újjal: a:g = (a-g); (b-g); a: g = (a-g); (a-b); b; g = (a-g): (b-g); b: g = (a-g): (a-b). E műnek a 3-ik évszáz végén vetélytársa akadt az alexandriai Pappus sunagwgh maJmatich-jában, mely 8. könyvében a korában nagyrabecsült mennyiségtani iratokat vázolja csillagászati és mechanikai kitéréssel; fontos kivált 7. könyve, mely az analysis és synthesis világos meghatározása után mindazokat a segédtételeket és értelmezéseket halmozza össze, melyek az adott feladatoknak különféle vonalak szerkesztésével történő megoldására szükségesek, s melyben találjuk az ú. n. Pappus feladatát is: ha több egyenes helyzete szerint ismeretes, keressük meg annak a pontnak geometriai helyét, a melyből – ha az illető egyenesekhez merőlegeseket vagy állandó szög alatt hajló egyeneseket húzunk, ezek bizonyos számából oly szorzatokat képezhetünk, a melyek a többi hátralevőnek megfelelő szorzatával állandó viszonyban vannak. Kivált a számtannak szentelte erejét az új platói iskola. Ennek kiváló tagja volt Iambiichus, a kisázsiai Chalcisból; ránk maradt könyvei Pythagoras életére vetnek világot s főleg a polygonalis számok tulajdonságait tárgyalják. Nem sokkal utána élt Diophantus Alexandriából, a görög algebra megteremtője, a ki a hat első hatvány számításánál a négyzet (dⁱ = dunamiV), köb (c^u = cuboV), négyzetnégyzet (dd^u = dunamodunamiV), négyzetköb (dc^u = dunamocuboV), köbköb (cc^u = cubocuboV) számokat használta jelzéséül. De vele egyúttal letünik a görög mathematikának fényes tehetségekben bővelkedő korszaka, mert az utána mennyiségtannal foglalkozó tudósok a régebbi mathematikusok iratainak kiadására, ill. jobbára szellemtelen magyarázására szorítkoztak. Említhetők Patricius a 4-ik évszáz végéről, Heron sík- és térmértani munkáinak kiadója, az alexandriai Theon, Euclides elemeinek első kiadója s Ptolemaeus commentatora, Proclus Diadochus(410–485), Euclides értelmezője, Eutocius Ascalonból (a 6-ik évszáz közepén), Archimedes és Apollonius műveinek magyarázója, az ifjabb Heron, Byzantium névtelen földmérője (a 9-ik évszázban), Michaël Psellus (a 11-ik évszázban), egy értéktelen mennyiségtani compendiumnak a szerzője, Isaac Argyrus (a 14-ik évsz.-ból) Ptolemaeus és Euclides commentatora, Maximus Planudes (a 14-ik évszázban), Diophantus magyarázója, kinek jhjojoria cz. számoló könyvében először találjuk az indusok kilencz számjegyét, s feltűnik a tzijra, a 0 jegye is. A smyrnai Nicolaus Rhabdas és Manuel Moschopulus fejezik be apróbb, jelentéktelen értekezéseikkel a görög mathematikusok sorozatát. – A rómaiak a mennyiségtan elméleti részének nem voltak müvelői s csak gyakorlati alkalmazhatóságára törekedtek. Iparkodnak ugyan egyesek a későbbi császárság korában megismertetni kortársaikat a görögök mennyiségtani felfedezéseivel, így Appulejus lefordítja Nicomachust, Martianus Capella encyclopaedikus műve 7-ik könyvének nevezetesen a görögök számtani terminusaival ösmertet meg, fejlesztőleg munkájuk azonban nem hatott, noha az utóbbi Cassiodoriusban és Boethiusban (6-ik évszáz) hasonló törekvésü követőkre talált. A földmérés volt az, az agrimensorok és gromatikusok tudománya, melyet bizonyos előszeretettel müveltek. Frontinus, Hyginus, Balbus, Epaphroditus, Vitruvius Rufus nevei érdemelnek itt említést, de azrét ők is erősen a görög Heron vállain állanak. – Irodalom: Szekeres Kálmán, A görögök mennyiségtana (Rozsnyói gymn. ért. 1883). Baumgartner Alajos, Vázlatok a mathematika történetéből (a Középiskolai Mathematikai Lapokban, Thales, 4. évf. 42–44; Pythagoras 4, 73–75, 89–92, 125–128, 145–148; Hippias 5, 1–3; Hippocrates 5, 3–5, 25–27; Plato 5, 41–43, 61–64; Archytas 5, 81–85; Eudoxus 5, 117–120; Menaechmus 5, 149–151; Dinostratus 5, 165–167; Euclides, 6, 1–5, 25–28, 41–45, 61–64, 77–82, 97–100, 113–117, 153–157; Archimedes 7, 1–3, 41–44, 57–64, 89–93; Eratosthenes 8,1–4; Apollonius 8, 33–36, 57–60, 81–84; Nicomedes 8, 129–133; Diocles 9, 1 skk.). Délambre, Arithmétique des Grecs, Paris 1807, németül Hoffmanntól, Mainz, 1817. Chasles, Aperço historique sur l’origine et le développement des méthodes en Géométrie, Brüxelles, 1837, németül Sohncketől, Halle, 1839. Bretschneider, Die Geometrie und die Geometer vor Euklides, Leipzig, 1870. Allman, Greek Geometry from Thales to Euclid, Hermathena, 1877–1887. Cantor, Vorlesungen über Geschichte der Mathem. 1. k. Leipzig, 1880, 2. k. 1. r. u. o., 1899. Günther. Mathematik, Naturwissenschaft etc. im Altertum (Iwan Müller’s Handbuch 5. köt. 1–114. l.). Zeuthen, Geschichte der Mathematik im Alterthum u. Mittelalter, Kopenhagen, 1896. Boyer, Histoire des mathématiques, Paris, 1900. Braunmühl, Vorlesungen über d. Gesch. d. Trigonometrie 1. k. 1899.